soal dan pembahasan gradien dan persamaan garis

1. Tentukan gradien dari persamaan garis-garis berikut:
a) y = 3x + 2
b) 10x − 6y + 3 = 0

Pembahasan
a) y = 3x + 2
Pola persamaan garis pada soal a adalah
y = mx + C
Sehingga dengan mudah menemukan gradien garisnya m = 3

b) 18x − 6y + 24 = 0
Ubah persamaan b menjadi pola y = mx + c

18x − 6y + 24 = 0
18x + 24 = 6y
6y = 18x + 24
bagi dengan angka 6
y = 3x + 4 
sehingga m = 3

2. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (3, 1) dan tegak lurus dengan garis y = 2x + 5

Pembahasan
Dua buah garis saling tegak lurus jika memenuhi syarat sebagai berikut
m₁ ⋅ m₂ = −1

y = 2x + 5 memiliki gradien m1 = 2, sehingga garis yang akan dicari persamaannya harus memiliki gradien
m₁ ⋅ m₂ = −1
2 ⋅ m₂ = −1
m₂ = − 1/2

Tinggal disusun persamaan garisnya
y − y₁ = m(x − x₁)
y − 1 = ¹/₂(x − 3)
y − 1 = ¹/₂ x − 3/2
y = ¹/₂ x − ³/₂ + 1
y = ¹/₂ x − ¹/₂

Soal No. 3
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (3, 1) dan sejajar dengan garis y = 2x + 5

Pembahasan
Dua buah garis yang sejajar memiliki syarat gradiennya harus sama atau
m₁ = m₂

Gradien garis y = 2x + 5 adalah 2, sehingga gradien garis yang akan dicari juga 2 karena mereka sejajar. Sehingga
y − y₁ = m(x − x₁)
y − 1 = 2 (x − 3)
y − 1 = 2x − 6
y = 2x − 6 + 1
y = 2x − 5

Soal No. 4
Garis p memiliki persamaan :
y = 2x + 5

Tentukan persamaan garis yang didapatkan dengan:
a) menggeser garis p ke atas sebanyak 3 satuan
b) menggeser garis p ke bawah sebanyak 3 satuan

Pembahasan
Pergeseran suatu garis ke atas dan ke bawah.

y = 2x + 5

a) digeser ke atas sebanyak 3 satuan menjadi:
y = 2x + 5 + 3
y = 2x + 8

b) digeser ke bawah sebanyak 3 satuan

y = 2x + 5 − 3
y = 2x + 2

Soal No. 5
Garis m memiliki persamaan :
y = 2x + 10

Tentukan persamaan garis yang didapatkan dengan:
a) menggeser garis m ke kanan sebanyak 3 satuan
b) menggeser garis m ke kiri sebanyak 3 satuan

Pembahasan
Pergeseran suatu garis ke kanan dan ke kiri.

y = 2x + 10

a) digeser ke kanan sebanyak 3 satuan
y = 2(x − 3) + 10
y = 2x − 6 + 10
y = 2x + 4

b) digeser ke kiri sebanyak 3 satuan

y = 2(x + 3) + 10
y = 2x + 6 + 10
y = 2x + 16

Soal No. 6
Garis y = 1/2 x − 5 sejajar dengan garis yang melalui titik P (10, a + 4) dan titik Q (a, 8). Tentukan koordinat dari titik P dan titik Q!

Pembahasan
Gradien garis y = 1/2 x − 5 adalah 1/2. Dua garis yang sejajar memiliki gradien yang sama. Sehingga gradien garis PQ juga 1/2.



Koordinat titik P = (10, a + 4) = (10, 6 + 4) = (10, 10)

Koordinat titik Q = (a, 8) = (6, 8)

Soal No. 7
Tentukan persamaan garis berikut dengan cepat!



Pembahasan
Menentukan persamaan garis dengan diketahui titik potongnya pada sumbu x dan sumbu y:

   bx + ay = ab

a itu angka disumbu x,  yang memotong tentunya,

b itu angka di sumbu y

ab maksudnya a dikali b.

dari gambar:
a = 3
b = 2

Jadi persamaan garisnya:
2x + 3y = 6

Soal No. 8
Gradien garis x − 3y = − 6 adalah....
A. −3
B. − 1/3
C. 1/3
D. 3
(Gradien dan Persamaan Garis - un matematika smp 2012)

Pembahasan
Cara pertama
Arahkan ke bentuk umum persamaan garis, dengan m adalah gradien

y = mx + c

x − 3y = − 6
x + 6 = 3y
3y = x + 6
y = ^x/₃ + 6/₃
y = ¹/₃ x + 2

Jadi m = 1/3

Cara kedua
Satukan x dan y dalam satu ruas, boleh di kiri semua atau di kanan semua, pada soal di atas x dan y sudah dalam satu ruas. Kemudian


Soal:
x − 3y = − 6

koefisien x = 1
koefisien y = −3

Jadi
m = − ^{koefisien x} / _{koefisien y}
= − 1 / −3
= 1/3

Catatan:
Perhatikan perbedaan rumusnya dengan soal nomor 1.

Soal No.9
Gradien garis dengan persamaan 3x + 8y = 9 adalah...
A. 8/3
B. 3/8
C. −3/8
D. −8/3
(UN SMP 2013)

Pembahasan
Seperti nomor 11 dengan cara kedua:
m = − 3/8